\documentclass[handout]{slide}




\renewcommand{\mytitle}{第八章\quad 向量代数与空间解析几何}
\renewcommand{\mysubtitle}{第五节\quad 曲面及其方程}

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\tikzset{>=latex}

\begin{document}


\section{曲面研究的基本问题}

\begin{frame}{曲面研究的基本问题}
\pause
在空间解析几何中，关于曲面的研究有下列两个基本问题：
\pause
\begin{enumerate}
  \item 已知一曲面作为点的几何轨迹时，建立这曲面的方程;
\pause
  \item 已知坐标 $x, y$ 和 $z$ 间的一个方程时，研究这方程所表示的曲面的形状。
  \end{enumerate}
\pause
在第三节中关于建立一种最简单的曲面一平面方程的例子就属于基本问题 (1), 以下是建立另一种特殊曲面---球面方程的例子。


\end{frame}


\begin{frame}
\begin{example}
建立球心在点 $M_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 、半径为 $R$ 的球面的方程。
\end{example}

\pause
\begin{solution}
  \pause
\begin{wrapfigure}{r}{.3\textwidth}
  \includegraphics[max width=.3\textwidth]{2024_01_19_d53316b371e4d6addcc7g-22}
  \caption*{图 8-38}
\end{wrapfigure}
\pause
设 $M(x, y, z)$ 是球面上的任一点 (图 8-38), 则
$$
\left|M_{0} M\right|=R.
$$
\pause
由于
$$
\left|M_{0} M\right|=\sqrt{\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}+\left(z-z_{0}\right)^{2}},
$$
\pause
所以
$$
\sqrt{\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}+\left(z-z_{0}\right)^{2}}=R,
$$
\pause
或
\[\tag{5-1}
\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}+\left(z-z_{0}\right)^{2}=R^{2} .
\]
\pause
这就是球面上的点的坐标所满足的方程。 
\pause
而不在球面上的点的坐标都不满足这方程。 所以方程 (5-1) 就是以 $M_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 为球心、 $R$ 为半径的球面方程。

\pause
如果球心在原点，那么 $x_{0}=y_{0}=z_{0}=0$, 从而球面方程为
$$
x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2} .
$$
\end{solution}
\end{frame}


\begin{frame}
下面举一个由已知方程研究它所表示的曲面的例子。
\pause
\begin{example}
方程 $x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x+4 y=0$ 表示怎样的曲面?
\end{example}
\pause
\begin{solution}
\pause
通过配方， 原方程可以改写成
$$
(x-1)^{2}+(y+2)^{2}+z^{2}=5 .
$$
\pause
与 (5-1) 式比较， 就知道原方程表示球心在点 $M_{0}(1,-2,0)$ 、半径 $R=\sqrt{5}$ 的球面。
\end{solution}

\pause
一般地， 设有三元二次方程
$$
A x^{2}+A y^{2}+A z^{2}+D x+E y+F z+G=0 ,
$$
\pause
这个方程的特点是缺 $x y, y z, z x$ 各项， 而且平方项系数相同， 只要将方程经过配方可以化成方程 (5-1) 的形式，则它的图形就是一个球面。

\pause
下一目中讨论旋转曲面，也是基本问题 (1)的例子; 而第三、四目中分别讨论柱面、二次曲面，则是基本问题 (2) 的例子。
\end{frame}


\section{旋转曲面}


\pause

\begin{frame}{旋转曲面}
\pause
  以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做\emph{旋转曲面}， 旋转曲线和定直线依次叫做旋转曲面的\emph{母线}和\emph{轴}。

\pause
\begin{wrapfigure}{r}{.3\textwidth}
\includegraphics[max width=.3\textwidth]{2024_01_19_d53316b371e4d6addcc7g-24(1)}
\caption*{图 8-39}
\end{wrapfigure}

\pause
设在 $y O z$ 坐标面上有一已知曲线 $C$, 它的方程为
$
f(y, z)=0,
$
\pause
把这曲线绕 $z$ 轴旋转一周， 就得到一个以 $z$ 轴为轴的旋转曲面 (图 8-39). 
\pause
它的方程可以求得如下：

\pause
设 $M_{1}\left(0, y_{1}, z_{1}\right)$ 为曲线 $C$ 上的任一点，则有
\[\tag{5-2}
f\left(y_{1}, z_{1}\right)=0
\]
\pause
当曲线 $C$ 绕 $z$ 轴旋转时， 点 $M_{1}$ 绕 $z$ 轴转到另一点 $M(x, y, z)$, 这时 $z=z_{1}$ 保持不变， 且点 $M$ 到 $z$ 轴的距离
$$
d=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\left|y_{1}\right| .
$$
\pause
将 $z_{1}=z, y_{1}= \pm \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 代人 (5-2) 式， 就有
\[\tag{5-3}
f\left( \pm \sqrt{x^{2}+y^{2}}, z\right)=0,
\]
\pause
反过来，若一点满足 (5-3), 那么它可由曲线$C$上某点旋转得到，从而落在旋转曲面上。
\pause
所以 (5-3) 就是所求旋转曲面的方程。

\pause
由此可知， 在曲线 $C$ 的方程 $f(y, z)=0$ 中将 $y$ 改成 $\pm \sqrt{x^{2}+y^{2}}$, 便得曲线 $C$ 绕 $z$ 轴旋转所成的旋转曲面的方程。

\pause
同理，曲线 $C$ 绕 $y$ 轴旋转所成的旋转曲面的方程为
\[\tag{5-4}
f\left(y, \pm \sqrt{x^{2}+z^{2}}\right)=0 .
\]
\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{example}
  直线 $L$ 绕另一条与 $L$ 相交的直线旋转一周， 所得旋转曲面叫做圆锥面。 两直线的交点叫做圆锥面的顶点， 两直线的夹角 $\alpha\left(0<\alpha<\frac{\pi}{2}\right)$ 叫做圆锥面的半顶角。 试建立顶点在坐标原点 $O$, 旋转轴为 $z$ 轴， 半顶角为 $\alpha$ 的圆锥面 (图 8-40) 的方程。
\end{example}
\pause
\begin{solution}
\pause
\begin{wrapfigure}{r}{.25\textwidth}
    \centering
    \includegraphics[max width=.25\textwidth]{2024_01_19_d53316b371e4d6addcc7g-24}
            \caption*{图 8-40}
            \end{wrapfigure}
      在 $y O z$ 坐标面上，直线 $L$ 的方程为
      \[\tag{5-5}
  z=y \cot \alpha,
\]
\pause
因为旋转轴为 $z$ 轴， 所以只要将方程 (5-5) 中的 $y$ 改成 $\pm \sqrt{x^{2}+y^{2}}$, 便得到这圆锥面的方程
$$
z= \pm \sqrt{x^{2}+y^{2}} \cot \alpha
$$
\pause
或
\[\tag{5-6}
z^{2}=a^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right),
\]
\pause
其中 $a=\cot \alpha$.


\pause
显然， 圆锥面上任一点 $M$ 的坐标一定满足方程 (5-6). 如果点 $M$ 不在圆锥面上， 那么直线 $O M$ 与 $z$ 轴的夹角就不等于 $\alpha$,于是点 $M$ 的坐标就不满足方程 (5-6).
\end{solution}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{example}
将 $z O x$ 坐标面上的双曲线
$
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1
$
分别绕 $z$ 轴和 $x$ 轴旋转一周， 求所生成的旋转曲面的方程。
\end{example}
\pause
\begin{solution}
\pause
绕 $z$ 轴旋转所成的旋转曲面叫做\emph{旋转单叶双曲面} (图 8-41), 它的方程为
$$
\frac{x^{2}+y^{2}}{a^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1.
$$
\pause
绕 $x$ 轴旋转所成的旋转曲面叫做\emph{旋转双叶双曲面} (图 8-42), 它的方程为
$$
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}+z^{2}}{c^{2}}=1.
$$

\pause
\begin{figure}
  \centering
    \begin{subfigure}{.16\textwidth}
        \includegraphics[max width=\textwidth]{2024_01_19_d53316b371e4d6addcc7g-25(1)}
          \caption*{图 8-41}
      \end{subfigure}
\hskip 5em
\pause
\begin{subfigure}{.3\textwidth}
        \includegraphics[max width=\textwidth]{2024_01_19_d53316b371e4d6addcc7g-25(2)}
          \caption*{图 8-42}
      \end{subfigure}
\end{figure}
\end{solution}

\end{frame}

\section{柱面}
\pause
\begin{frame}
我们先分析一个具体的例子。
\pause
\begin{example}
方程 $x^{2}+y^{2}=R^{2}$ 表示怎样的曲面?
\end{example}
\pause
\begin{solution}
\pause
    \begin{wrapfigure}{r}{.4\textwidth}
        \centering
            \includegraphics[max width=.18\textwidth]{2024_01_19_d53316b371e4d6addcc7g-25}
                \caption*{图 8-43}
                \end{wrapfigure}
\pause
      方程 $x^{2}+y^{2}=R^{2}$ 在 $x O y$ 面上表示圆心在原点 $O$ 、半径为 $R$ 的圆。 
\pause
      在空间直角坐标系中， 这方程不含竖坐标 $z$, 即不论空间点的竖坐标 $z$ 怎样， 只要它的横坐标 $x$ 和纵坐标 $y$ 能满足这方程， 那么这些点就在这曲面上。 
\pause
      这就是说， 凡是通过 $x O y$ 面内圆 $x^{2}+y^{2}=R^{2}$ 上一点 $M(x, y, 0)$, 且平行于 $z$ 轴的直线 $l$ 都在这曲面上， 
\pause
      因此， 这曲面可以看做是由平行于 $z$ 轴的直线 $l$ 沿 $x O y$ 面上的圆 $x^{2}+y^{2}=R^{2}$ 移动而形成的。 
\pause
      这曲面叫做\emph{圆柱面} (图 8-43), $x O y$ 面上的圆 $x^{2}+y^{2}=R^{2}$ 叫做它的\emph{准线}，这平行于 $z$ 轴的直线 $l$ 叫做它的\emph{母线}。
\end{solution}
\end{frame}

\begin{frame}
一般地， 直线 $L$ 沿定曲线 $C$ 平行移动形成的轨迹叫做\emph{柱面}， 定曲线 $C$ 叫做\emph{柱面的准线}，动直线 $L$ 叫做\emph{柱面的母线}。

\pause
上面我们看到， 不含 $z$ 的方程 $x^{2}+y^{2}=R^{2}$ 在空间直角坐标系中表示圆柱面， 它的母线平行于 $z$ 轴，它的准线是 $x O y$ 面上的圆 $x^{2}+y^{2}=R^{2}$.

\pause
类似地， 方程 $y^{2}=2 x$ 表示母线平行于 $z$ 轴的柱面， 它的准线是 $x O y$ 面上的抛物线
$y^{2}=2 x$, 该柱面叫做抛物柱面 (图 8-44).

\onslide<5->
又如， 方程 $x-y=0$ 表示母线平行于 $z$ 轴的柱面， 其准线是 $x O y$ 面上的直线 $x-y=$ 0 , 所以它是过 $z$ 轴的平面 (图 8-45).

\onslide<4->
\begin{figure}
  \centering
    \begin{subfigure}{.2\textwidth}
      \includegraphics[max width=\textwidth]{2024_01_19_d53316b371e4d6addcc7g-26(1)}
    \caption*{图 8-44}
\end{subfigure}
\hskip 5em
\onslide<6->
\begin{subfigure}{.2\textwidth}
        \includegraphics[max width=\textwidth]{2024_01_19_d53316b371e4d6addcc7g-26}
      \caption*{图 8-45}
  \end{subfigure}
\end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}
一般地， 只含 $x, y$ 而缺 $z$ 的方程 $F(x, y)=0$ 在空间直角坐标系中表示母线平行于 $z$ 轴的柱面， 其准线是 $x O y$ 面上的曲线 $C: F(x, y)=0$ (图 8-46).

\onslide<3->
类似可知， 只含 $x, z$ 而缺 $y$ 的方程 $G(x, z)=0$ 和只含 $y, z$ 而缺 $x$ 的方程 $H(y, z)=0$ 分别表示母线平行于 $y$ 轴和 $x$ 轴的柱面。

\onslide<4->
例如， 方程 $x-z=0$ 表示母线平行于 $y$ 轴的柱面， 其准线是 $z O x$ 面上的直线 $x-z=0$. 所以它是过 $y$ 轴的平面 (图 8-47).

\onslide<2->
\begin{figure}
  \centering
  \begin{subfigure}{.3\textwidth}
      \includegraphics[max width=\textwidth]{2024_01_19_d53316b371e4d6addcc7g-26(2)}
    \caption*{图 8-46}
\end{subfigure}
\hskip 5em
\onslide<5->
\begin{subfigure}{.3\textwidth}
    \includegraphics[max width=\textwidth]{2024_01_19_d53316b371e4d6addcc7g-26(3)}
  \caption*{图 8-47}
\end{subfigure}
\end{figure}

\end{frame}


\section{二次曲面}

\begin{frame}{九类二次曲面}
  \pause
与平面解析几何中规定的二次曲线相类似，我们把三元二次方程 $F(x, y, z)=0$ 所表示的曲面称为\emph{二次曲面}，把平面称为\emph{二次曲面}。

\pause
二次曲面有九种：椭圆锥面、椭球面、单叶双曲面、双叶双曲面、椭圆抛物面、双曲抛物面（马鞍面）、椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面。
\pause
通过选取新的（右手）空间直角坐标系（也可说成是作旋转和平移）， 可得它们的标准方程：
\pause
\begin{enumerate}
  \item 椭圆锥面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z^2$
  \item 椭球面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$
  \item 单叶双曲面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$
\item 双叶双曲面：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$
\item 椭圆抛物面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z$
\item 双曲抛物面（马鞍面）：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=z$
\item 椭圆柱面：$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$
\item 双曲柱面：$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$
\item 抛物柱面：$x^{2}=a y$.
\end{enumerate}
\pause
最后三类二次曲面是以三种二次曲线为准线的柱面，
柱面的形状在第三目中已经讨论过， 这里不再赘述。
\pause
下面就九种二次曲面的标准方程来讨论二次曲面的形状。

\end{frame}

\begin{frame}{(1) 椭圆锥面 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=z^{2}$}
\pause
  \begin{wrapfigure}{r}{.2\textwidth}
    \centering
  \includegraphics[max width=.15\textwidth]{2024_01_19_d53316b371e4d6addcc7g-27}
\caption*{图 8-48}
\end{wrapfigure}
\pause
以垂直于 $z$ 轴的平面 $z=t$ 截此曲面， 当 $t=0$ 时得一点 $(0,0,0)$; 
\pause
当 $t \neq 0$ 时，得平面 $z=t$ 上的椭圆
$$
\frac{x^{2}}{(a t)^{2}}+\frac{y^{2}}{(b t)^{2}}=1
$$
\pause
当 $t$ 变化时， 上式表示一族长短轴比例不变的椭圆， 
\pause
当 $|t|$ 从大到小并变为 0 时， 这族椭圆从大到小并缩为一点。 
\pause
综合上述讨论， 可得椭圆锥面 (1) 的形状如图 8-48 所示。

\pause
平面 $z=t$ 与曲面 $F(x, y, z)=0$ 的交线称为\emph{截痕}。 
\pause
通过综合截痕的变化来了解曲面形状的方法称为\emph{截痕法}。
\end{frame}

\begin{frame}
我们还可以用伸缩变形的方法来得出椭圆锥面 (1) 的形状。
\pause
  \begin{wrapfigure}{r}{.3\textwidth}
    \centering
\includegraphics[max width=.3\textwidth]{2024_01_19_d53316b371e4d6addcc7g-27(1)}
\caption*{图 8-49}
\end{wrapfigure}

\pause
先说明 $x O y$ 平面上的图形伸缩变形的方法。 
\pause
在 $x O y$ 平面上，把点 $M(x, y)$ 变为点 $M^{\prime}(x, \lambda y)$, 从而把点 $M$ 的轨迹 $C$ 变为点 $M^{\prime}$ 的轨迹 $C^{\prime}$, 称为把图形 $C$ 沿 $y$ 轴方向伸缩 $\lambda$ 倍变成图形 $C^{\prime}$. 
\pause
假如 $C$ 为曲线 $F(x, y)=0$, 点 $M\left(x_{1}, y_{1}\right) \in C$, 点 $M$ 变为点 $M^{\prime}\left(x_{2}, y_{2}\right)$, 其中 $x_{2}=x_{1}, y_{2}=\lambda y_{1}$,
\pause
即 $x_{1}=x_{2}, y_{1}=\frac{1}{\lambda} y_{2}$, 因点 $M \in C$, 有 $F\left(x_{1}, y_{1}\right)=0$, 故 $F\left(x_{2}, \frac{1}{\lambda} y_{2}\right)=0$, 
\pause
因此点 $M^{\prime}\left(x_{2}, y_{2}\right)$ 的轨迹 $C^{\prime}$ 的方程为 $F\left(x, \frac{1}{\lambda} y\right)=0$. 
\pause
例如把圆 $x^{2}+y^{2}=$ $a^{2}$ 沿 $y$ 轴方向伸缩 $\frac{b}{a}$ 倍， 就变为椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ (图 8-49).

\pause
类似地， 把空间图形沿 $y$ 轴方向伸缩 $\frac{b}{a}$ 倍， 圆锥面 $\frac{x^{2}+y^{2}}{a^{2}}=z^{2}$ (图 8-40) 就变椭圆锥面 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=z^{2}$ (图 8-48).

~

\pause
利用圆锥面 (旋转曲面) 的伸缩变形来得出椭圆锥面的形状， 这种方法是研究曲面形状的一种较方便的方法。

\end{frame}

\begin{frame}{(2) 椭球面 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$}
\pause
  \begin{wrapfigure}{r}{.3\textwidth}
    \centering
  \includegraphics[max width=.3\textwidth]{2024_01_19_d53316b371e4d6addcc7g-28}
\caption*{图 8-50 }
\end{wrapfigure}
\pause
把 $z O x$ 面上的椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 绕 $z$ 轴旋转， 所得曲面称为\emph{旋转椭球面}， 其方程为
$$
\frac{x^{2}+y^{2}}{a^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 .
$$
\pause
再把旋转椭球面沿 $y$ 轴方向伸缩 $\frac{b}{a}$ 倍， 便得椭球面 (2) 的形状如图 8-50 所示。

\pause
当 $a=b=c$ 时， 椭球面 (2) 成为 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$, 这是球心在原点、半径为 $a$ 的球面。 
\pause
显然， 球面是旋转椭球面的特殊情形， 旋转椭球面是椭球面的特殊情形。 
\pause
把球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=$ $a^{2}$ 沿 $z$ 轴方向伸缩 $\frac{c}{a}$ 倍， 即得旋转椭球面 $\frac{x^{2}+y^{2}}{a^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$; 
\pause
再沿 $y$ 轴方向伸缩 $\frac{b}{a}$ 倍， 即得椭球面 (2).
\end{frame}


\begin{frame}{(3) 单叶双曲面 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$}
\pause
  \begin{figure}
        \centering
        \includegraphics[max width=.3\textwidth]{2024_01_19_d53316b371e4d6addcc7g-25(1)}
          \caption*{图 8-41}
      \end{figure}

\pause
把 $z O x$ 面上的双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 绕 $z$ 轴旋转， 得\emph{旋转单叶双曲面} $\frac{x^{2}+y^{2}}{a^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ (图 8-41). 
\pause
把此旋转曲面沿 $y$ 轴方向伸缩 $\frac{b}{a}$ 倍， 即得单叶双曲面 (3).

\end{frame}



\begin{frame}{(4) 双叶双曲面 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$}
\pause
    \begin{figure}
        \centering
        \includegraphics[max width=.4\textwidth]{2024_01_19_d53316b371e4d6addcc7g-25(2)}
          \caption*{图 8-42}
      \end{figure}
\pause
把 $z O x$ 面上的双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 绕 $x$ 轴旋转， 得\emph{旋转双叶双曲面} $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}+z^{2}}{c^{2}}=1$ (图 8-42), 
\pause
把此旋转曲面沿 $y$ 轴方向伸缩 $\frac{b}{c}$ 倍， 即得双叶双曲面 (4).
\end{frame}


\begin{frame}{(5) 椭圆抛物面 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=z$}
\pause
  \begin{figure}[h]
        \centering
\includegraphics[max width=.2\textwidth]{2024_01_19_d53316b371e4d6addcc7g-29}
\caption*{图 8-51}
      \end{figure}
\pause
把 $z O x$ 面上的抛物线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}=z$ 绕 $z$ 轴旋转， 所得曲面叫做\emph{旋转抛物面}， 如图 8-51 所示。
\pause
把此旋转曲面沿 $y$ 轴方向伸缩 $\frac{b}{a}$ 倍， 即得椭圆抛物面 (5).
\end{frame}



\begin{frame}{(6) 双曲抛物面 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=z$}
\pause
    \begin{wrapfigure}{r}{.3\textwidth}
        \centering
\includegraphics[max width=.3\textwidth]{2024_01_19_d53316b371e4d6addcc7g-29(1)}
\caption*{图 8-52}
      \end{wrapfigure}
\pause
  双曲抛物面又称\emph{马鞍面}， 我们用截痕法来讨论它的形状。

\pause
用平面 $x=t$ 截此曲面， 所得截痕 $l$ 为平面 $x=t$ 上的抛物线
$$
-\frac{y^{2}}{b^{2}}=z-\frac{t^{2}}{a^{2}}.
$$
\pause
此抛物线开口朝下， 其顶点坐标为
$$
x=t, \quad y=0, \quad z=\frac{t^{2}}{a^{2}} .
$$
\pause
当 $t$ 变化时， $l$ 的形状不变，位置只作平移，
\pause
而 $l$ 的顶点的轨迹 $L$ 为平面 $y=0$ 上的抛物线
$$
z=\frac{x^{2}}{a^{2}} .
$$
\pause
因此， 以 $l$ 为母线， $L$ 为准线， 母线 $l$ 的顶点在准线 $L$ 上滑动， 且母线作平行移动， 这样得到的曲面便是双曲抛物面 (6), 如图 8-52 所示。

\end{frame}


\end{document}
